Anwendung antiker Winkelsätze auf die kleine Kupferstab Elle

A06. Anwendung antiker Winkelsätze auf die kleine Kupferstab Elle:

Nun nimmt man die kleine Kupferstab Elle, ihren Fuß von 15 digKE und ihren kleinen
Fuß von 13 digKE und wendet die Regeln der zuvor beschriebenen, antiken Winkel-
sätze an. Über die Kerbe (3) des dinglichen Maßstabs der Nippur Elle wird eine
senkrechte Linie gezogen. Auf diese Linie legt man einen rechten Winkel, dessen
Schenkel die Enden der kleinen Kupferstab Elle berühren. Natürlich könnte man so mit
jeder beliebigen Ellenteilung den Satz des Euklid anwenden. Bei der kleinen Kupferstab
Ellenteilung hat aber die Höhe eine Länge von etwa 14 digKE. Nutzt man die Höhe
und den kleinen Fuß der Elle als Katheten, hat ihre Hypotenuse eine Länge von etwa
19 digKE. Die Nutzer der kleinen Kupferstab Elle kannten wahrscheinlich nicht die
mathematischen Formeln der Winkelsätze, aber durch Ausprobieren fanden sie
anscheinend das Zahlenverhältnis von 13 digKE zu 19 digKE zu 14 digKE, um einen
annähernd rechten Winkel zu ermitteln.
Dieser Winkel weicht vom exakten rechten Winkel um etwa minus 0,62963 Grad ab.
Die Höhe der 14 digKE steht an ihrer Spitze C von der exakten Höhe um etwa
2,5 Millimeter ausser Lot.

Bild 09

Hier alle möglichen Teilungen einer 28 teiligen Elle nach dem Satz des Euklid und dem
Höhensatz:

Die 28 teilige Elle wird mit einem ganzzahligen Digititeil der Elle multipliziert und daraus
wird die Wurzel gezogen (c q = b²). Nur einmal gibt es hier eine rationale Zahl(14 Teile).
Von dieser Zahl und den Zahlen, die weniger als 1/10tel Teil von einer rationalen Zahl
abweichen, ermittelt man über den Höhensatz die Höhe (p q = h²). Dass in einem
solchen Dreieck alle drei Zahlen (q, b und h) weniger als 1/10tel Teil von einer rationalen
Zahl abweichen, gibt es hier zweimal, bei 19 zu 23 zu 13 und auf der Fußteilung der
Kerbe (3) mit 13 zu 19 zu 14.

c      q      b                h
28   27   27,49545
28   26   26,98147   7,21110
28   25   26,45751
28   24   25,92296   9,79795
28   23   25,37715
28   22   24,81934
28   21   24,24871
28   20   23,66431
28   19   23,06512   13,07669 *
28   18   22,44994
28   17   21,81742
28   16   21,16601
28   15   20,49390
28   14   19,79898
28   13   19,07878   13,96424 *
28   12   18,33030
28   11   17,54992
28   10   16,73320
28     9   15,87450
28     8   14,96662   12,64911
28     7   14               12,12435
28     6   12,96148   11,48912
28     5   11,83215
28     4   10,58300
28     3     9,16515
28     2     7,48331
28     1     5,29150

zur Vorseite

zur nächsten Seite: A07. Anwendung antiker Winkelsätze auf die Nippur Elle